Postingankali ini akan membahas tentang Pembahasan Soal Analisis Real Bartle Bagian 2.3 yang terkait dengan Sifat Kelengkapan Bilangan Real. Materi tersebut meliputi supremum dan infimum suatu himpunan. Soal-soal berikut diambil dari buku "Introduction to Real Analysis" oleh Robert G.Bartle dan Donald R. Sherbert. b amati pola perkalian beberapa bilangan awalDiketahui bahwa (1 + 1/2)(1 + 1/3)(1 + 1/4)(1 + 1/5)(1 + 1/n) = 11 berapakah nilai n yang memenuhi ? a. sederhanakan bilangan yang di dalam kurung. b. amati pola perkalian beberapa bilangan awal. c. Dengan mengamati,tentukan nilai n yang memenuhi persamaan diatas 10SMA. Matematika. ALJABAR. Diketahui bahwa a= (1 2 -3), b= (4 4 m), dan c= (3 -4 5) . Jika a tegak lurus b , maka hasil dari a+2 b-c=. Operasi Hitung Vektor. Skalar dan vektor serta operasi aljabar vektor. ALJABAR. Matematika. Diketahui a = 1. r = 2. Ditanya: Jawab: = 16. Jadi, jumlah potongan kertas setelah potongan kelima adalah 16. Contoh Soal 2. Pada sebuah deret geometri diketahui bahwa suku pertamanya adalah 3 dan suku ke-9 adalah 768. Suku ke-7 deret tersebut adalah Pembahasan: Diketahui: a = 3 Ditanya: Jawab: Jawabanpaling sesuai dengan pertanyaan Diketahui vektor-vektor vec(a)=([3],[1],[-1]), vec(b)=. Pernyataan berikut yang benar adal Jawaban: k = - 1 atau k = 1 Perhatikan penjelasan berikut ya. Ingat kembali: → Jika vektor a adalah vektor satuan, maka |a| = 1 → Jika vektor a = (x , y z), maka |a| = √x²+y²+z² → Jika vektor a = p(x , y z), maka vektor a = (px, py, pz) → a² - b² = (a + b)(a - b) Diketahui : vektor a = k(1/√3, 1/√3, 1/√3) adalah vektor satuan → |a| = 1 Ditanya : nilai k = ? Diketahuibahwa ab 6 1 2 bc 7 cd 35 2 3 de 4 2 3 ea 2 Tentukan nilai a b c d from MATH MISC at SMAN 1 Malang Ingatkembali deret teleskopik adalah deret bilangan dimana setiap sukunya saling menghilangkan satu sama lain. Diketahui (1-1/3) (1-1/4) (1-1/5) (1-1/6) (1-t/2015) (1-t/2016) = n-2013/2016 dapat disederhanakan menjadi: (1-1/3) (1-1/4) (1-1/5) (1-1/6) (1-t/2015) (1-t/2016) = n-2013/2016 () (4/4-1/4) (5/5-1/5) (6/6-1/6) (1-1/2015) 6or6. Contoh Soal Deret Geometri beserta Jawabannya Lengkap Kelas 11 – Pembahasan kali ini kami ingin mengulas kumpulan contoh soal deret geometri beserta jawabannya lengkap kelas 11. Apa itu deret geometri dan bagaimana rumus serta cara perhitungannya? Jika aritmatika merupakan barisan atau deretan angka dengan pola tertentu, geometri ini adalah jumlah dari barisan aritmatika tersebut. Suku-suku yang dijumlahkan mempunyai rasio tetap rasio = perbandingan antar suku. Misalnya, rasio antara suku kedua dengan pertama sama seperti rasio suku ketiga dengan yang kedua. Materi ini menjadi salah satu kurikulum pelajaran matematika di kelas 11 dan bahkan ada di mata kuliah. Maka dari itu, agar lebih mudah dipahami, berikut kami berikan kumpulan contoh soal deret geometri beserta jawabannya lengkap kelas 11 dari beberapa sumber terpercaya. Contoh Soal Barisan Geometri dan Deret GeometriDaftar IsiContoh Soal Barisan Geometri dan Deret GeometriSoal 1 Menentukan r rasioSoal 2 Menentukan UnSoal 3 Menentukan SnContoh Soal Deret Geometri SederhanaContoh Soal Deret Geometri Beserta Jawabannya Lengkap Kelas 11Contoh Soal Deret Geometri Tak Hingga Daftar Isi Contoh Soal Barisan Geometri dan Deret Geometri Soal 1 Menentukan r rasio Soal 2 Menentukan Un Soal 3 Menentukan Sn Contoh Soal Deret Geometri Sederhana Contoh Soal Deret Geometri Beserta Jawabannya Lengkap Kelas 11 Contoh Soal Deret Geometri Tak Hingga Sebelum membahas lebih jauh tentang contoh soal deret geometri beserta jawabannya lengkap kelas 11, pahami dulu tentang tiga rumus dasar yang digunakan dalam barisan dan deret geometri berikut ini Soal 1 Menentukan r rasio Jika dalam barisan geometri diketahui 1, 3, 9, 27, 81, …. Berapakah rasio dari deret tersebut? Pembahasan Diketahui a = 1, ditanyakan r = ? Maka r = Un / Un-1 r = U2 / U1 r = 3 / 1 r = 3 Jadi, rasio nilai r dari barisan geometri tersebut yaitu 3. Soal 2 Menentukan Un Un merupakan suku ke-n dalam suatu deret atau barisan dengan rumus Un = arn-1. , berikut contoh soalnya Dengan susunan bilangan geometri 1, 3, 9, 27, 81, …. Hitung berapa suku ke-6 dari barisan tersebut Un = 6. Pembahasan Un = arn-1 U6 = ar6-1 = 1 x 35 = 1 x 243 = 243 Jadi, nilai dari suku keenam dalam deret bilangan tersebut adalah 243. Soal 3 Menentukan Sn Sn merupakan jumlah dari semua suku-suku dalam barisan geometri. Untuk lebih mudah dalam memahami, berikut salah satu contoh soal deret geometri beserta jawabannya lengkap kelas 11 dalam perhitungan Sn Deret geometri 1, 3, 9, 27, 81, …. Hitunglah berapa nilai Sn dalam deret tersebut n = 3 ! Pembahasan a Sn = a rn – 1 / r – 1 S3 = 1 33 – 1 / 3 – 1 S3 = 1 x 26 / 2 S3 = 13 Maka, nilai dari Sn untuk n = 3 adalah 13. Contoh Soal Deret Geometri Sederhana Dalam contoh soal deret geometri beserta jawabannya lengkap kelas 11 paling sederhana menggunakan rumus Sn = a rn – 1 / r – 1. Berikut kami berikan beberapa contoh soalnya agar lebih mudah dipahami. Soal 1 Apabila diketahui suatu deret angka 5 + 15 + 45 + … Maka, berapakah jumlah 6 suku pertama dari deret tersebut? Pembahasan Diketahui a = 5, r = 3 Sehingga jumlah enam suku pertama yakni Sn = a rn – 1 / r – 1 S6 = 5 36 – 1 / 3 – 1 = / 2 = Jadi, jumlah dari 6 suku pertama barisan geometri tersebut adalah Soal 2 Berikut contoh soal deret geometri beserta jawabannya lengkap kelas 11 lainnya yang sering keluar saat ujian. Diketahui barisan geometri adalah 3, 6, 12, 24, 48, … . Berapa jumlah 7 suku pertamanya? Pembahasan Diketahui a = 3, r = 2, n = 7 Sehingga jumlah enam suku pertama yakni Sn = a rn – 1 / r – 1 S6 = 3 27 – 1 / 2 – 1 = 381 / 1= 381 Jadi, hasil dari jumlah tujuh suku pertama deret geometri tersebut adalah 381. Soal 3 Diketahui suatu bilangan membentuk deret geometri 4 + 12 + 36 + 108 +… Carilah berapa jumlah dari tujuh suku pertamanya! Diketahui a = 4, r = 3, n = 7 Sehingga jumlah enam suku pertama yakni Sn = a rn – 1 / r – 1 S6 = 4 37 – 1 / 3 – 1 = 4372 Maka dari hasil perhitungan, jumlah tujuh suku pertamanya adalah 4372. Soal 4 Dalam suatu deret membentuk 4 + 2 + 1 + 1/2 + ¼ ….. Hitunglah berapa jumlah barisan geometri dari susunan suku tersebut! Jawaban Diketahui a = 4 dan r = ½ Ditanyakan Sn = ? Sn = a / 1 – r = 4 / 1 – ½ = 4 / ½ = 4 x 2 = 8 Jadi, jumlah barisan geometri dari susunan bilangan tersebut adalah 8. Contoh Soal Deret Geometri Beserta Jawabannya Lengkap Kelas 11 Deret geometri umumnya digunakan pada perhitungan panjang lintasan bola. Bola dijatuhkan dari ketinggian tertentu, kemudian terus memantul yang membentuk ketinggian berbeda-beda hingga berhenti. Sehingga rasio dalam kasus tersebut yakni perbandingan tinggi pantulan pertama kali dengan tinggi mula-mulanya. Atau bisa juga dari perbandingan tinggi pantulan kedua dengan pertama. Berikut kami berikan contoh soal deret geometri beserta jawabannya lengkap kelas 11 lainnya Soal 1 Suatu spesies bakteri melakukan pembelahan diri jadi dua untuk setiap detik. Apabila di awal terdapat lima bakteri, berapa waktu yang dibutuhkan agar pembelahan tersebut menjadi 320 bakteri? Pembahasan Dari soal cerita tersebut diketahui a = 5, r = 2, Un = 320. Ditanyakan n = ? Un = arn -1 320 =5 x 2n -1 2n -1 = 320/5 2n -1 = 64 2n -1 = 26 n = 7 Sehingga, waktu yang diperlukan untuk membelah diri hingga menjadi 320 bakteri yakni 7 menit. Soal 2 Dalam suatu susunan bilangan yang membentuk deret geometri, diketahui bahwa suku pertamanya 3 serta suku ke sembilan adalah 768. Jadi, berapa suku ke-7 dari deret bilangan tersebut? Pembahasan Diketahui a = 3, U9 = 768 Un = arn-1 768 = 3 r9-1 768 = 3 x r8 r8 =768/3 r8 = 256 r8 = 28 r = 2 Maka suku ketujuh adalah U7 = 3 x 26 = 194. Contoh Soal Deret Geometri Tak Hingga Dalam contoh soal deret geometri beserta jawabannya lengkap kelas 11 juga ada jenis deret tak hingga yang dibedakan menjadi dua, yaitu divergen dan konvergen. Berikut kami berikan penjelasan perbedaan dan contoh soalnya Soal 1 Deret Geometri Tak Hingga Kategori Divergen Disebut divergen apabila dalam barisan angka tersebut nilainya semakin membesar dan tidak terhingga. Misalnya dalam deret angka 1 + 2 + 4 + 8 + 16 …. Kemudian dalam soal ditanyakan berapa nilai jumlah dari seluruh angka dalam barisan tersebut, maka tidak dapat dihitung dikarenakan nilainya yang terus membesar dan tidak terhingga. Soal 2 Deret Geometri Tak Hingga Kategori Konvergen Dalam contoh soal deret geometri beserta jawabannya lengkap kelas 11 lebih sering ditanyakan tentang baris tak hingga konvergen. Bedanya, dalam barisan konvergen ini nilainya semakin kecil sehingga bisa dihitung. Misalnya dalam barisan 4 + -2 + 1 + -1/2 + ¼ + …. Carilah berapa Stak hingga Pembahasan Rumus yang digunakan untuk Stak hingga adalah a / 1 – r Stak hingga = a / 1 – r = 4 / 1 –-1/2 = 4 / 1 + ½ = 4 / 3/2 = 4 x 2/3 = 8/3 Sehingga, nilai dari jumlah deret geometri tak terhingga tersebut adalah 8/3. Nah, di atas telah kami berikan contoh soal deret geometri beserta jawabannya lengkap kelas 11. Cukup mudah dipahami bukan? Kunci dalam mengerjakan geometri adalah dengan memahami tiga rumus utama seperti sudah kami cantumkan pada pembahasan pertama. Melalui kumpulan contoh soal deret geometri beserta jawabannya lengkap kelas 11 semoga bisa memberikan pengetahuan bagi para siswa, selamat belajar. Klik dan dapatkan info kost di dekatmu Kost Jogja Harga Murah Kost Jakarta Harga Murah Kost Bandung Harga Murah Kost Denpasar Bali Harga Murah Kost Surabaya Harga Murah Kost Semarang Harga Murah Kost Malang Harga Murah Kost Solo Harga Murah Kost Bekasi Harga Murah Kost Medan Harga Murah Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya, Pembuktian – Induksi matematika merupakan materi ilmu matematika yang paling sering dijumpai, apalagi kalau menempuh pendidikan di jurusan IPA. Ini merupakan perluasan dari logika matematika. Meskipun terlihat sederhana, namun sebenarnya membutuhkan kecermatan tersendiri. Untuk itu, perlu memahami contoh soal induksi matematika dan jawabanya. Induksi matematika merupakan metode pembuktian tertentu secara deduktif guna melakukan pembuktian dari pernyataan benar maupun salah. Ini melibatkan proses berpikir dalam menarik suatu kesimpulan tertentu berdasarkan kebenaran apa yang berlaku secara umum. Mengenal Apa Itu Induksi Matematika Daftar IsiMengenal Apa Itu Induksi Matematika Sejarah Induksi Matematika Langkah-Langkah Mengerjakan Induksi Matematika Prinsip Induksi Matematika Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya Lengkap Daftar Isi Mengenal Apa Itu Induksi Matematika Sejarah Induksi Matematika Langkah-Langkah Mengerjakan Induksi Matematika Prinsip Induksi Matematika Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya Lengkap Bagi pecinta ilmu matematika pasti sudah tidak merasa asing dengan yang namanya induksi matematika. Induksi matematika adalah semacam cara maupun metode pembuktian absah guna membuktikan pernyataan matematika benar atau salah. Induksi matematika merupakan metode penalaran yang bersifat deduktif. Jadi, induksi matematika dipakai untuk melakukan pembuktian universal terkait statement matematika tertentu. Contohnya, teori graf, teori bilangan serta kombinatorika. Pecinta matematika memakai induksi matematika guna memberikan penjelasan terkait pernyataan matematika yang sudah diketahui kebenarannya. Prinsip induksi matematika bisa dijelaskan secara umum yakni asumsi induktif serta induksi dasar. Induksi matematika membutuhkan kecermatan tersendiri, meskipun terlihat cukup sederhana. Agar bisa memahami induksi matematika dengan baik, maka sebaiknya mencari tahu tentang contoh soal induksi matematika dan jawabannya lengkap. Sejarah Induksi Matematika Tahukah Anda bahwa induksi matematikan sudah ada sejak lama. Induksi matematika bermula pada akhir dari abad ke 19 yang juga dipelopori oleh dua orang matematikawa bernama Dedikind dan R. Dedekind. Kedua tokoh tersebut tengah mengembangkan sekumpulan aksioma yang mampu menggambarkan bentuk bilangan yaitu bilangan positif. Peano memperbaiki bagian aksioma tersebut serta memberikannya interpretasi yang jauh lebih logis. Kemudian, semua aksioma tersebut dinamakan Postulat Peano dan ditemukan sekitar tahun 1890an. Lalu, ini disebut sebagai rumusan formula bagi konsep bilangan asli. Sejumlah hukum atau ketentuan Postulat Peano diantaranya 1 merupakan anggota N. Tiap-tiap anggota x N memiliki prinsip pengikut yakni px ∈N. Dua bentuk bilangan di N yang memiliki perbedaan juga memiliki pengikut berbeda. 1 bukan menjadi pengikut dari bilangan x N manapun. Apabila subhimpunan S C N memuat 1 bagian dan pengikut lainnya dari setiap bilangan di S, maka S – N. Ini sudah pasti dan tidak terelakan lagi. Langkah-Langkah Mengerjakan Induksi Matematika Induksi matematika sebetulnya merupakan semacam metode yang dipakai guna melakukan pemeriksaan terkait validasi pernyataan dalam himpunan bilangan positif maupun himpunan bilangan asli. Agar bisa melakukan pembuktian seperti ini, maka dibutuhkan dua langkah penting. Langkah Basis Langkah basis merupakan langkah awal untuk melakukan pembuktian induksi matematika. Langkah basis menunjukkan suatu pernyataan yang berlaku untuk bilangan 1. Langkah Induksi Setelah langkah basis, ada langkah induksi. Langkah induksi menunjukkan bahwa apabila pernyataan itu berlaku untuk suatu bilangan n = k, maka pernyataan tersebut juga berlaku bagi bilangan n = k + 1. Prinsip Induksi Matematika Ketika ingin mempelajari induksi matematika, maka sebaiknya cermati prinsip-prinsipnya terlebih dahulu. Setidaknya ada 4 prinsip yang harus dicermati saat membuktikan induksi matematika, diantaranya seperti berikut. Basis = tunjukkan p1 adalah benar. Induksi = misalnya pn adalah benar untuk seluruh bilangan positif n = 1 Langkah induksi memuat asumsi yang menyatakan tentang p n adalah benar. Asumsi ini disebut sebagai hipotesi induksi. Kesimpulan = pembuktian bahwa p n+1 adalah benar. Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya Lengkap Agar Anda bisa lebih memahami tentang induksi matematika, maka sebaiknya simak contoh soal induksi matematika dan jawabannya. Dengan demikian, Anda bisa benar-benar memahami dan menguasai materi ini secara maksimal. Soal 1 Buktikanlah jika 32n + 22n + 2 benar-benar habis dibagi 5. Agar bisa membuktikannya, maka sebaiknya Anda menerapkan beberapa tahapan diantaranya Langkah Pertama 321 + 221+2 = 32 + 24 = 9 + 16 = 25, jadi benar-benar habis dibagi 5. Hal ini terbukti. Langkah Kedua Menggunakan 2 n = k 32k + 22k + 2 Langkah Ketiga = k + 1 = 32k+1 + 222k+2 = 32k+2 + 22k+2+2 = 3232k + 2222k+2 = 1032k + 522k+2 – 32k – 22k+2 = 10 32k + 5 22k+2 – 32k + 22k+2 Diperoleh 10 32k sudah habis dibagi 5, 522k+2 sudah habis dibagi 5 dan –32k + 22k+2 juga habis dibagi 5. Semua bilangan bulat tidak negatif n, buktikan dengan memakai induksi matematika bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1. Cari tahu basis induksi terlebih dahulu yaitu 20 = 20+1 – 1. Jadi, sangat jelas bahwa 20 = 1 Jika pn benar, yakni 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 adalah benar, maka tunjukkan bahwa pn+1 juga benar 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 juga benar, maka tunjukkan bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = 20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = 2n+1 – 1 + 2n+1 hipotesis induksi. = 2n+1 + 2n+1 – 1 = – 1 = 2n+2 – 1 = 2n+1+1 – 1 Maka dapat dibuktikan bahwa semua bilangan bulat tidak negatif n, terbukti bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1. Soal 2 Buktikan bahwa jumlah n buah dari bilangan ganjil positif pertama ialah n2. Temukan terlebih dahulu basis induksi. Untuk n = 1, maka jumlah satu buah dari bilangan ganjil positif pertama ialah 12 = 1. Hal ini benar karena jumlah dari satu buah bilagan ganjil yang positif pertama ialah 1. Terapkan induksi dengan mengandaikan pn benar, yakni 1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 = n2 Selanjutnya, perlihatkan bahwa p n+1 juga benar yakni 1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 + 2n + 1 = n + 12 adalah benar. Hal ini bisa ditunjukkan dengan uraian berikut. 1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 + 2n + 1 = [1 + 3 + 5 + … + 2n – 1] + 2n + 1 = n2 + 2n + 1 = n2 + 2n + 1 = n + 12 Karena baik langkah basis maupun induksi keduanya sudah ditunjukkan dengan benar, maka total jumlah n buah dari bilangan ganjil positif pertama ialah n2. Soal 3 Coba buktikan 1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 = n2. Pn = 1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 = n2. Maka akan mampu menujukkan Pn benar untuk tiap-tiap n N. Langkah Pertama Contoh soal induksi matematika dan jawabannya ini pasti mampu mempermudah Anda. Jika menghadapi soal seperti ini, sebaiknya lakukan langkah pertama terlebih dahulu. Langkah awal akan menunjukkan bahwa p1 adalah benar 1 = 12. Jadi, p1 adalah benar. Langkah Induksi Berikutnya, bisa langsung menerapkan langkah induksi. Ibaratkan saja jika Pk adalah benar, yaitu 1 + 3 + 5 + … + 2k – 1 = k2, k N 1 + 3 + 5 + … + 2k – 1 + 2k + 1 – 1 = k + 12 1 + 3 + 5 + … + 2k – 1 = k2 1 + 3 + 5 + … + 2k – 1 + 2k + 1 – 1 = k2 + 2k + 1 – 1 1 + 3 + 5 + … + 2k – 1 + 2k + 1 – 1 = k2 + 2k + 1 1 + 3 + 5 + … + 2k – 1 + 2k + 1 – 1 = k + 12 Berdasarkan uraian tersebut, maka diketahui bahwa pn adalah benar bagi masing-masing n dari bilangan asli. Soal 4 Coba buktikan jika 6n + 4 sudah habis dibagi 5 untuk tiap-tiap n N. Sama seperti contoh soal induksi matematika dan jawabannya yang lalu, pada soal ini Anda juga perlu membuat langkah awal dan induksi. Langkah Awal Langkah ini akan menunjukkan jika p1 adalah benar. 61 + 4 = 10 habis dibagi oleh angka 5. Hal ini membuktikan bahwa p1 adalah benar. Langkah Induksi Berikutnya adalah langkah induksi. Pada langkah induksi, ibaratkan saja pk adalah benar, maka 6k + 4 sudah habis dibagi dengan angka 5, k N. Hal ini akan menunjukkan pk + 1 adalah juga benar yaitu 6k+1 + 4 juga habis dibagi angka 5. 6k+1 + 4 = 66k + 4 6k+1 + 4 = 56k + 6k + 4 Jika 56k telah habis dibagi 5 dan 6k + 4 juga habis dibagi 5, maka 56k + 6k + 4 juga pasti akan dibagi habis dengan angka 5. Jadi, pk + 1 adalah benar. Soal 5 Buktikanlah bahwa bagi setiap n N dan n0 N berlaku seperti 1 + 3 + 5 + … + nn + 1/2 = 1/6 n n + 1 n + 2. Persis seperti cara sebelumnya, sebaiknya Anda buat langkah basic dan induksi. Langkah Awal n = 1 12 = 1/6 1 1 + 1 1 + 2 1 = 1 adalah benar terbukti. Langkah Induksi n = k 1 + 3 + 5 + … + nn + 1/2 = 1/6 n n + 1 n + 2 juga adalah benar. Dengan demikian jelas terbukti bahwa setiap n N dan n0 N berlaku seperti 1 + 3 + 5 + … + nn + 1/2 = 1/6 n n + 1 n + 2. Tentu ini menjadi soal paling sederhana, diantara soal-soal lainnya. Contoh soal induksi matematika dan jawabannya tersebut kiranya bisa membuat Anda jauh lebih memahami tentang ilmu sains ini. Apalagi jika Anda langsung mempraktikannya. Dijamin, ilmunya akan selalu melekat di kepala. Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu Kost Dekat UGM Jogja Kost Dekat UNPAD Jatinangor Kost Dekat UNDIP Semarang Kost Dekat UI Depok Kost Dekat UB Malang Kost Dekat Unnes Semarang Kost Dekat UMY Jogja Kost Dekat UNY Jogja Kost Dekat UNS Solo Kost Dekat ITB Bandung Kost Dekat UMS Solo Kost Dekat ITS Surabaya Kost Dekat Unesa Surabaya Kost Dekat UNAIR Surabaya Kost Dekat UIN Jakarta Subscribe!Klik di sini untuk berlangganan artikel melalui Telegram. Misalkan dan adalah ruang vektor. Berdasarkan definisi, keduanya merupakan himpunan tak kosong, sehingga kita bisa membentuk sebuah pemetaan fungsi dengan domain dan kodomain atau sebaliknya. Sebuah pemetaan dari ke disebut transformasi linear jika memenuhi syarat tertentu. Apa syaratnya? Simak baik-baik isi tulisan ini. Definisi Transformasi Linear Definisi Misalkan dan adalah ruang vektor. Pemetaan disebut transformasi linear jika dan hanya jika untuk setiap skalar dan . Lebih khusus, jika maka disebut operator linear. Operasi penjumlahan vektor pada dan mungkin berbeda, sehingga kita perlu memperhatikan vektor yang dijumlahkan. Perhatikan syarat pertama pada definisi transformasi linear. Vektor dan dipandang sebagai anggota , sehingga digunakan operasi penjumlahan vektor pada . Adapun dan dipandang sebagai anggota , sehingga digunakan operasi penjumlahan vektor pada . Hal yang sama berlaku pada operasi perkalian skalar. Soal dan PembahasanNomor 1Misalkan dan adalah ruang vektor. Jika adalah transformasi linear, maka buktikan bahwa PembahasanDiambil sebarang $\textbf{u} \in V$. Karena $\textbf{0} = 0\textbf{u}$, maka $$T\textbf{0} = T0\textbf{u} = 0T\textbf{u} = \textbf{0}$$ 2Misalkan dan adalah ruang vektor. Jika adalah transformasi linear dan , maka buktikan bahwa PembahasanDiambil sebarang $\textbf{u} \in V$. Karena $-\textbf{u} = -1\textbf{u}$, maka $$T-\textbf{u} = T-1\textbf{u} = -1T\textbf{u} = -T\textbf{u}$$ 3Misalkan dan adalah ruang vektor. Jika adalah transformasi linear dan , maka buktikan bahwa PembahasanDiambil sebarang $\textbf{u},\textbf{v} \in V$. Karena $\textbf{u}-\textbf{v} = \textbf{u}+-\textbf{v}$, maka $$\begin{aligned} T\textbf{u}-\textbf{v} &= T\textbf{u}+-\textbf{v} \\ &= T\textbf{u} + T-\textbf{v} \\ &= T\textbf{u}+-T\textbf{v} \\ &= T\textbf{u}-T\textbf{v} \end{aligned}$$ 4Misalkan dan adalah ruang vektor dan adalah vektor nol. Pemetaan didefinisikan sebagai Tunjukkan bahwa adalah transformasi sebarang skalar $k$ dan $\textbf{u},\textbf{v} \in V$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} &T\textbf{u} + \textbf{v} = \textbf{0} = \textbf{0} + \textbf{0} = T\textbf{u}+T\textbf{v} \\ &Tk\textbf{u} = \textbf{0} = k\textbf{0} = k T\textbf{u} \end{aligned}$$ Dengan demikian, $T$ adalah transformasi 5Misalkan adalah ruang vektor. Pemetaan didefinisikan sebagai Tunjukkan bahwa adalah transformasi sebarang skalar $k$ dan $\textbf{u},\textbf{v} \in V$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} &T\textcolor{green}{\textbf{u} + \textbf{v}} = \textcolor{green}{\textbf{u} + \textbf{v}} = T\textbf{u}+T\textbf{v} \\ &T\textcolor{blue}{k\textbf{u}} = \textcolor{blue}{k\textbf{u}} = k T\textbf{u} \end{aligned}$$ Dengan demikian, $T$ adalah transformasi 6Misalkan adalah ruang vektor dan suatu skalar. Pemetaan didefinisikan sebagai Tunjukkan bahwa adalah transformasi sebarang skalar $k$ dan $\textbf{u},\textbf{v} \in V$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} T\textbf{u} + \textbf{v} &= m\textbf{u} + \textbf{v} \\ &= m\textbf{u} + m\textbf{v} \\ &= T\textbf{u}+T\textbf{v} \end{aligned}$$ Selain itu $$\begin{aligned} Tk\textbf{u} &= mk\textbf{u} \\ &= mk \textbf{u} \\ &= km \textbf{u} \\ &= km\textbf{u} \\ &= kT\textbf{u} \end{aligned}$$ Dengan demikian, $T$ adalah transformasi 7Misalkan adalah polinom dalam . Pemetaan didefinisikan sebagai Tunjukkan bahwa adalah transformasi sebarang skalar $k$ dan $\textbf{p}_1,\textbf{p}_2 \in V$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} T\textbf{p}_1 + \textbf{p}_2 &= Tp_1x + p_2x \\ &= xp_1x + p_2x \\ &= xp_1x + xp_2x \\ &= Tp_1x + Tp_2x \\ &= T\textbf{p}_1+T\textbf{p}_2 \end{aligned}$$ Selain itu $$\begin{aligned} Tk\textbf{p} &= Tkp_1x \\ &= xkp_1x \\ &= kxp_1x \\ &= kTp_1x \\ &= kT\textbf{p}_1 \end{aligned}$$ Dengan demikian, $T$ adalah transformasi 8Pemetaan didefinisikan sebagai Periksa apakah adalah transformasi $A,B \in M_{2 \times 2}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} T\textcolor{blue}{A+B} &= \textcolor{blue}{A+B} + \textcolor{blue}{A+B}^T \\ &= A+B + A^T+B^T \\ &= A+A^T + B+B^T \\ &= TA + TB \end{aligned}$$ Selain itu $$\begin{aligned} T\textcolor{green}{kA} &= \textcolor{green}{kA} + \textcolor{green}{kA}^T \\ &= kA + kA^T \\ &= kA+A^T \\ &= kTA \end{aligned}$$ Dengan demikian, $T$ adalah transformasi 9Pemetaan didefinisikan sebagai Periksa apakah adalah transformasi $k$ adalah skalar dan $A,B \in M_{2 \times 2}$, dengan $$A=\begin{bmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{bmatrix}, \;B=\begin{bmatrix}b_1&b_2\\b_3&b_4\end{bmatrix}$$Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} &A+B = \begin{bmatrix}a_1+b_1&a_2+b_2\\a_3+b_3&a_4+b_4\end{bmatrix} &kA = \begin{bmatrix}ka_1&ka_2\\ka_3&ka_4\end{bmatrix} \end{aligned}$$ Sehingga $$\begin{aligned} TA+B &= \text{tr}A+B \\ &= a_1+b_1+a_4+b_4 \\ &= a_1+a_4+b_1+b_4 \\ &= \text{tr}A+\text{tr}B \\ &= TA+TB \end{aligned}$$ dan $$\begin{aligned} TkA &= \text{tr}kA \\ &= ka_1+ka_4 \\ &= ka_1+a_4 \\ &= k \ \text{tr}A \\ &= kTA \end{aligned}$$ Dengan demikian, $T$ adalah transformasi 10Pemetaan didefinisikan sebagai Periksa apakah adalah transformasi Misalkan $k$ adalah skalar dan $A \in M_{2 \times 2}$. Perhatikan bahwa $$T\textcolor{blue}{kA}=\textcolor{blue}{kA}^2=k^2A^2$$ dan $$kTA = kA^2$$ Jika $A$ adalah matriks nol maka keduanya bernilai sama. Namun, jika $A$ bukan matriks nol, keduanya bernilai sama hanya jika $k=0$ atau $1$. Jadi, sebagai contoh penyangkal, kita bisa memilih matriks identitas dan $k=2$. Terdapat skalar $k=2$ dan $\textbf{I} \in M_{2 \times 2}$ sedemikian sehingga $$Tk \textbf{I} = T2 \textbf{I} = 2\textbf{I}^2 = 4 \textbf{I}^2=4\textbf{I}$$ tetapi $$kT\textbf{I} = 2T\textbf{I}=2 \textbf{I}^2=2\textbf{I}$$ Karena $Tk \textbf{I} \neq kT\textbf{I}$, maka $T$ bukan transformasi 11Pemetaan didefinisikan sebagai Periksa apakah adalah transformasi Misalkan $k$ adalah skalar dan $\textbf{u} \in \mathbb{R}^3$. Perhatikan bahwa $$Tk\textbf{u}=\ k\textbf{u} \ = k \cdot \ \textbf{u} \$$ dan $$kT\textbf{u} = k \cdot \ \textbf{u} \$$ Jika $\textbf{u}$ bukan vektor nol, maka keduanya bernilai sama hanya jika $k \geq 0$. Jadi, sebagai contoh penyangkal, kita bisa memilih vektor $\textbf{u}=1,0,0$ dan skalar $k=-1$. Terdapat skalar $k=-1$ dan $\textbf{u}=1,0,0 \in \mathbb{R}^3$ sedemikian sehingga $$Tk\textbf{u} = T-1,0,0 = \ -1,0,0 \ = 1$$ tetapi $$kT\textbf{u} = -1 \cdot T1,0,0 = -1 \cdot 1 = -1$$ Karena $TkA \neq kTA$, maka $T$ bukan transformasi 12Misalkan adalah suatu vektor dalam . Pemetaan didefinisikan sebagai Periksa apakah adalah transformasi sebarang skalar $k$ dan $\textbf{u},\textbf{v} \in V$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} T\textcolor{green}{\textbf{u} + \textbf{v}} &= \textcolor{green}{\textbf{u} + \textbf{v}} \textbf{w} \\ &= \textbf{u} \times \textbf{w} + \textbf{v} \times \textbf{w} \\ &= T\textbf{u}+T\textbf{v} \end{aligned}$$ Selain itu $$\begin{aligned} T\textcolor{blue}{k\textbf{u}} &= \textcolor{blue}{k\textbf{u}} \times \textbf{w} \\ &= k\textbf{u} \times \textbf{w} \\ &= k T\textbf{u} \end{aligned}$$ Dengan demikian, $T$ adalah transformasi 13Pemetaan didefinisikan sebagai Periksa apakah adalah transformasi $k$ adalah skalar dan $\textbf{p},\textbf{q} \in P_3$, dengan $$\begin{aligned} \textbf{p} &= px = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 \\ \textbf{q} &= qx = b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3 \end{aligned}$$ Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} T\textbf{p}+\textbf{q} &= Tpx+qx \\ &= T[\textcolor{blue}{a_0+b_0}]+[a_1+b_1]x+[a_2+b_2]x^2+[\textcolor{green}{a_3+b_3}]x^3 \\ &= 5\textcolor{blue}{a_0+b_0} + \textcolor{green}{a_3+b_3} x^2 \\ &= 5a_0+5b_0 + a_3x^2+b_3x^2 \\ &= 5a_0+a_3x^2 + 5b_0+b_3x^2 \\ &= Ta_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 + Tb_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3 \\ &= Tpx + Tqx \\ &= T\textbf{p} + T\textbf{q} \end{aligned}$$ Selain itu $$\begin{aligned} Tk\textbf{p} &= Tkpx \\ &= T\textcolor{blue}{ka_0}+ka_1x+ka_2x^2+\textcolor{green}{ka_3}x^3 \\ &= 5 \textcolor{blue}{ka_0} + \textcolor{green}{ka_3} x^3 \\ &= k5a_0+a_3x^2 \\ &= kTa_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 \\ &= kTpx \\ &= kT\textbf{p} \end{aligned}$$ Dengan demikian, $T$ adalah transformasi 14Himpunan adalah basis dari , dengan dan . Misalkan adalah transformasi linear yang memenuhi Temukan formula untuk , lalu gunakan formula tersebut untuk menentukan PembahasanPertama, kita perlu menyatakan $x_1,x_2$ sebagai kombinasi linear dari $\textbf{v}_1$ dan $\textbf{v}_2$, yaitu $$x_1,x_2 = k_11,0 + k_2-2,1 = k_1-2k_2,k_2$$ untuk suatu skalar $k_1$ dan $k_2$. Berdasarkan kesamaan dua vektor pada $\mathbb{R}^2$, diperoleh $$\left\{\begin{alignat*}{3} k_1&\-\&2k_2 \=\ &x_1 \\ &&k_2 \=\ &x_2 \end{alignat*}\right.$$ Sistem persamaan ini mempunyai solusi $k_1=x_1+2x_2$, $k_2=x_2$ Periksa!. Akibatnya $$\begin{aligned} Tx_1,x_2 &= Tk_1\textbf{v}_1 + k_2\textbf{v}_2 \\ &= \textcolor{blue}{k_1} T\textbf{v}_1 + \textcolor{green}{k_2} T\textbf{v}_2 \\ &= \textcolor{blue}{x_1+2x_2} 3,0,2 + \textcolor{green}{x_2} -1,2,-4 \\ &= 3x_1+6x_2,0,2x_1+4x_2 + -x_2,2x_2,-4x_2 \\ &= 3x_1+5x_2,2x_2,2x_1 \end{aligned}$$ Dengan demikian, nilai dari $T-3,2$ adalah $$\begin{aligned} T\textcolor{blue}{-3},\textcolor{green}{2} &= 3\textcolor{blue}{-3} + 5 \cdot \textcolor{green}{2}, 2 \cdot \textcolor{green}{2}, 2\textcolor{blue}{-3} \\ &= -9+10,4,-6 \\ &= 1,4,-6 \end{aligned}$$